2021年广西百色中考数学真题及答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）
1. ﹣2022的相反数是（ ）
A. ﹣2022 B. 2022 C. ±2022 D. 2021
【答案】B
2. 如图，与∠1是内错角的是（ ）
A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5
【答案】C
3. 骰子各面上的点数分别是1，2，…，6，抛掷一枚骰子，点数是偶数的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
4. 已知∠α＝25°30′，则它的余角为（ ）
A. 25°30′ B. 64°30′ C. 74°30′ D. 154°30′
【答案】B
5. 方程 ＝ 的解是（ ）．
A. x＝﹣2 B. x＝﹣1 C. x＝1 D. x＝3
【答案】D
6. 一组数据4，6，x，7，10的众数是7，则这组数据的平均数是（ ）
A. 5 B. 6.4 C. 6.8 D. 7
【答案】C
7. 下列各式计算正确的是（ ）
A. 33＝9 B. （a﹣b）2＝a2﹣b2
C. 2 ＋3 ＝5 D. （2a2b）3＝8a8b3
【答案】C
8. 下列展开图中，不是正方体展开图的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
9. 如图，在⊙O中，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以弦AB的端点A、B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点M；（2）作直线OM交AB于点N．若OB＝10，AB＝16，则tan∠B等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
10. 当x＝﹣2时，分式 的值是（ ）
A. ﹣15 B. ﹣3 C. 3 D. 15
【答案】A
11. 下列四个命题：①直径是圆的对称轴；②若两个相似四边形的相似比是1：3，则它们的周长比是1：3，面积比是1：6；③同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行；④对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形．其中真命题有（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ③④ D. ②③④
【答案】C
12. 如图，矩形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，AB＝2 ，BC＝2，M为AB上一动点，过点M作直线l⊥AB，若点M从点A开始沿着AB方向移动到点B即停（直线l随点M移动），直线l扫过矩形内部和四边形EFGH外部的面积之和记为S．设AM＝x，则S关于x的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 的倒数是________．
【答案】
14. 某公司开展“爱心公益”活动，将价值16000元的物品捐赠给山区小学，数据16000用科学记数法表示为________．
【答案】
15. 如图，是一组数据的折线统计图，则这组数据的中位数是____．
【答案】9
16. 实数 的整数部分是______．
【答案】10
17. 数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为_________米．
【答案】
18. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝______．
【答案】
三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：（π﹣1）0＋| ﹣2|﹣（ ）﹣1＋tan60°．
【答案】0
20. 解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】
解： ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得x＜7，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
∴原不等式组的解集是 ．
21. 如图，O为坐标原点，直线l⊥y轴，垂足为M，反比例函数y＝ （k≠0）的图象与l交于点A（m，3），△AOM的面积为6
（1）求m、k的值；
（2）在x轴正半轴上取一点B，使OB＝OA，求直线AB的函数表达式．
【答案】(1) ， ；(2) .
解：(1)∵直线l⊥y轴，垂足为M
∴AM⊥OM
∴
∵A点的坐标为（m，3）
∴ ，
∴
解得
∴A点的坐标为（4，3）
∵A点在反比例函数 上
∴
解得 ；
(2) 设直线AB的解析式为
由(1)得A点的坐标为（4，3）
即 ，
∴
∵B在x正半轴上，且OB=OA
∴OB=5，即B的坐标为（5，0）
∴
解得
∴直线AB的解析式为 .
22. 如图，点D、E分别是AB、AC的中点，BE、CD相交于点O，∠B＝∠C，BD＝CE．求证：
（1）OD＝OE；
（2）△ABE≌△ACD．
【答案】
解：(1)∵∠B=∠C，∠DOB=∠EOC，BD=CE
∴△DOB≌△EOC（AAS）
∴OD=OE；
(2)∵D、E分别是AB、AC的中点
∴AB=2BD，AC=2CE，AD=BD，AE=EC
又∵BD=CE
∴AB=AC，AD=AE
∵∠A=∠A
∴△ABE≌△ACD（SAS）
23. 为了解某校九年级500名学生周六做家务的情况，黄老师从中随机抽取了部分学生进行调查，将他们某一周六做家务的时间t（小时）分成四类（A：0≤t＜1，B：1≤t＜2，C：2≤t＜3，D：t≥3），并绘制如下不完整的统计表和扇形统计图．
类别
A
B
C
D
人数
2
18
3
根据所给信息：
（1）求被抽查的学生人数；
（2）周六做家务2小时以上（含2小时）为“热爱劳动”，请你估计该校九年级“热爱劳动”的学生人数；
（3）为让更多学生积极做家务，从A类与D类学生中任选2人进行交流，求恰好选中A类与D类各一人的概率（用画树状图或列表法把所有可能结果表示出来）．
【答案】（1）50人；（2）300人；（3）
（1） （人）
（2）C类的人数为：50-2-18-3=27（人）
九年级周六做家务2小时以上的人数为： （人）
（3）设A类两人分别是A1、A2、D类3人分别是D1、D2、D3
A1
A2
D1
D2
D3
A1
A2 A1
A1 D1
A1 D2
A1 D3
A2
A1A2
A2 D1
A2 D2
A2 D3
D1
A1D1
A2D1
D1 D2
D1 D3
D2
A1D2
A2D2
D2 D1
D2 D3
D3
A1D3
A2D3
D3 D1
D3 D2
两次抽取的结果共有10种，A类和D类各有一人共12种，故概率为 ；
24. 据国际田联《田径场地设施标准手册》，400米标准跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道组成，有8条跑道，每条跑道宽1.2米，直道长87米；跑道的弯道是半圆形，环形跑道第一圈（最内圈）弯道半径为35.00米到38.00米之间．
某校据国际田联标准和学校场地实际，建成第一圈弯道半径为36米的标准跑道．小王同学计算了各圈的长：
第一圈长：87×2＋2π（36＋1.2×0）≈400（米）；
第二圈长：87×2＋2π（36＋1.2×1）≈408（米）；
第三圈长：87×2＋2π（36＋1.2×2）≈415（米）；
……
请问：
（1）第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多多少米？小王计算的第八圈长是多少？
（2）小王紧靠第一圈边线逆时针跑步、邓教练紧靠第三圈边线顺时针骑自行车（均以所靠边线长计路程），在如图的起跑线同时出发，经过20秒两人在直道第一次相遇．若邓教练平均速度是小王平均速度的2倍，求他们的平均速度各是多少？
（注：在同侧直道，过两人所在点的直线与跑道边线垂直时，称两人直道相遇）
【答案】
解：（1）根据题意得，第三圈弯道比第一圈弯道长：
（米）；
第八圈长： （米）
答：第三圈弯道比第一圈弯道长15米，第八圈长453米．
（2）由于两人是第一次相遇，教练的速度更快，且是在直道上两人相遇，
那么两人一定在左边的直道上相遇，
两人的总路程刚好是第一圈的长度加上两个半圆赛道长度的差：
（米）
设小王的速度为 ，则老师的速度为
答：小王的速度为 ，老师的速度为 ．
25. 如图，PM、PN是⊙O的切线，切点分别是A、B，过点O的直线CE∥PN，交⊙O于点C、D，交PM于点E，AD的延长线交PN于点F，若BC∥PM．
（1）求证：∠P＝45°；
（2）若CD＝6，求PF的长．
【答案】
解：（1）连接OB，如图，
，
四边形 是平行四边形，
PN是⊙O的切线，
；
（2）连接AC，如图，
PM、PN是⊙O的切线，
四边形 是平行四边形，
在 与 中，
PM是⊙O的切线，
．
26. 已知O为坐标原点，直线l：y＝﹣ x＋2与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，连接EC交x轴于点D．
（1）求证：AD＝CD；
（2）求经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式；
（3）当x＞0时，抛物线上是否存在点P，使S△PBC＝ S△OAE？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】
（1）证明：∵直线l：y＝﹣ x＋2与x轴、y轴分别交于A、C两点，B（4，2），
∴A（4，0），C（0，2）
∴ ∥
∴
∵点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，
∴
∴
∴
∴AD＝CD
（2）设E（a，b）
∵点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，
∴线段BE的中点在直线l上，
则 ，化简得
，解得： ， （舍去）
则E（ ， ）
令直线CE的解析式为 ，将C（0，2），E（ ， ）代入得：
，解得
∴
又∵D点在x轴上，
∴D（ ，0）
设经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式为 ，将B（4，2），D（ ，0），C（0，2）代入得：
，解得
∴经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式为
（3）存在，理由如下：
∴
∴
解得 或
又x＞0
当 时，代入 ，得 ，
当 时，代入 ，得 ， （舍去）
综上，P的坐标（ ，0）、（ ，0）或（ ，4）
