2021年江苏省常州市中考数学真题及答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
- 的倒数是（ ）
- 2 B. ﹣2 C. D. ﹣
【答案】A
- 计算的结果是（ ）
- B. C. D.
【答案】B
- 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
- 正方体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 球
【答案】D
- 观察所示脸谱图案，下列说法正确的是（ ）
- 它是轴对称图形，不是中心对称图形 B. 它是中心对称图形，不是轴对称图形
- 它既是轴对称图形，也是中心对称图形 D. 它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
【答案】A
- 如图，是的直径，是的弦．若，则的度数是（ ）
- B. C. D.
【答案】C
- 以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是，则对应的转盘是（ ）
-
B.
C.
D.
【答案】D
- 已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
- 为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格（元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设（元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则随t变化的图像大致是（ ）
【答案】A
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
- 计算：___．
【答案】3
- 计算：__________．
【答案】
- 分解因式：__________．
【答案】
- 近年来，5G在全球发展迅猛，中国成为这一领域基础设施建设、技术与应用落地的一大推动者．截至2021年3月底，中国已建成约819000座5G基站，占全球70%以上．数据819000用科学记数法表示为__________．
【答案】8.19×105
- 数轴上的点A、B分别表示、2，则点__________离原点的距离较近（填“A”或“B”）．
【答案】B
- 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若，则点A的坐标是__________．
【答案】（3，0）
- 如图，在中，点D、E分别在、上，．若，则________．
【答案】100
- 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取、的中点D、E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成矩形．若，则的面积是__________．
【答案】12
- 如图，在中，，点D、E分别在、上，点F在内．若四边形是边长为1的正方形，则________．
【答案】
- 如图，在中，，D是上一点（点D与点A不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是________．
【答案】＜AD＜2
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
- 计算：．
【答案】
【详解】解：原式=
=．
- 解方程组和不等式组：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）-2＜x＜1
【详解】解：（1），
①+②，得3x=3，解得：x=1，
把x=1代入①得：y=-1，
∴方程组的解为：；
（2），
由①得：x＞-2，
由②得：x＜1，
∴不等式组的解为：-2＜x＜1
- 为降低处理成本，减少土地资源消耗，我国正在积极推进垃圾分类政策，引导居民根据“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”这四类标准将垃圾分类处理调查小组就某小区居民对垃圾分类知识的了解程度进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图．
（1）本次调查的样本容量是_______；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该小区有居民2000人，请估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数．
【答案】
（1）55÷55％=100（人），
故答案是：100；
（2）完全了解人数：100×30％=30（人），
较少了解人数：100-30-55-5=10（人），
补全统计图如下：
（3）2000×30％=600（人），
答：估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数有600人．
- 在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形是菱形；②四边形有一个内角是直角；③四边形的对角线相等．将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中．
（1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是__________；
（2）搅匀后先从中任意抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中任意抽出1支签．四边形同时满足抽到的2张小纸条上的条件，求四边形一定是正方形的概率．
【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1）3支签中任意抽出1支签，抽到条件①的概率=1÷3=，
故答案是：；
（2）画出树状图：
∵一共有6种等可能的结果，四边形一定是正方形的可能有4种，
∴四边形一定是正方形的概率=4÷6=．
- 如图，B、F、C、E是直线l上的四点，．
（1）求证：；
（2）将沿直线l翻折得到．
①用直尺和圆规在图中作出（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接，则直线与l的位置关系是__________．
【答案】
（1）证明：∵，
∴BC=EF，
∵，
∴∠ABC=∠DEF，
又∵，
∴；
（2）①如图所示，即为所求；
②∥l，理由如下：
∵，与关于直线l对称，
∴，
过点作M⊥l，过点D 作DN⊥l，则M∥DN，且M=DN，
∴四边形MND是平行四边形，
∴∥l，
故答案是：平行．
- 为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天，该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？
【答案】该景点在设施改造后平均每天用水2吨．
【详解】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x吨，则原来平均每天用水2x吨，
由题意得：，解得：x=2，
经检验：x=2是方程的解，且符合题意，
答：该景点在设施改造后平均每天用水2吨．
- 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数的图像交于点C，连接．已知点，．
（1）求b、k的值；
（2）求的面积．
【答案】（1）b=2，k=6；（2）6
【详解】解：（1）过点C作CD⊥x轴，则OB∥CD，
把代入得：，解得：b=2，
∴，
令x=0代入，得y=2，即B(0，2)，
∴OB=2，
∵，OB∥CD，
∴，
∴，即：
∴DA=6，CD=3
∴OD=6-4=2，
∴D(2，3)，
∴，解得：k=6；
（2）的面积=．
- 通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
【理解】
（1）如图1，，垂足分别为C、D，E是的中点，连接．已知，．
①分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：__________（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．
【应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N在反比例函数的图像上，横坐标分别为m、n．设，记．
①当时，__________；当时，________；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．
【答案】（1）①，=；②＞，＞；（2）①，1；②l的最小值是1，理由见详解
【详解】解：（1）①∵，
∴∠ACD+∠A=∠ACD+∠BCD=90°，即：∠A=∠BCD，
又∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴，
∴，即：，
∴，即：（负值舍去），
∵E是的中点，
∴==；
②∵，，
∴＞，即：＞．
故答案是：＞；
（2）①当时，==，
当时，==，
故答案是：，1；
②l的最小值是：1，理由如下：
由题意得：M(m，)，N(n，)，过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，
==
=[（①的面积+②的面积）+②的面积+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积+③的面积 +④的面积）]
= [（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+③的面积]
=(1+1+1+1+③的面积)≥1，
∴l的最小值是1．
- 在平面直角坐标系中，对于A、两点，若在y轴上存在点T，使得，且，则称A、两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点、，点在一次函数的图像上．
（1）①如图，在点、、中，点M的关联点是_______（填“B”、“C”或“D”）；
②若在线段上存在点的关联点，则点的坐标是_______；
（2）若在线段上存在点Q的关联点，求实数m的取值范围；
（3）分别以点、Q为圆心，1为半径作、．若对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）①B；②；（2）或；（3）或．
【详解】解：在平面直角坐标系中，设，点，关联点，
将点A、点、点T向下平移个单位，点T对应点与原点重合，此时点A、点对应点、，
∵绕原点旋转90度的坐标变化规律为：点（x，y）顺时针旋转，对应点坐标为（y，-x）；逆时针旋转对应点坐标为（-y，x），
∴绕原点旋转90度的坐标对应点坐标为或，
即顺时针旋转时，解得：，即关联点，
或逆时针旋转时，，解得：，即关联点，
即：在平面直角坐标系中，设，点，关联点坐标为或，
（1）①由关联点坐标变化规律可知，点关于在y轴上点的关联点坐标为：或，
若点是关联点，则或，解得：，即y轴上点或，故点是关联点；
若点是关联点，则或，无解，故点不是关联点；
若点是关联点，则或，无解，故点不是关联点；
故答案为：B；
②由关联点坐标变化规律可知，点关于点的关联点的坐标为或，
若，解得：，此时即点，不在线段上；
若，解得：，此时即点，在线段上；
综上所述：若在线段上存在点的关联点，则点
故答案为：；
（2）设点与点是关于点关联点，则点坐标为或，
又因为点在一次函数的图像上，即：，
点在线段上，点、，
当∴，
∴，
∴，
或，
∴，
当；
综上所述：当或时，在线段上存在点Q的关联点．
（3）对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联，
故点E与点Q也是关于同一点关联，设该点，则
设点与点是关于点关联点，则点坐标为或，
又因为在一次函数的图像上，即：，
∵点，
若，解得：，
即点，
若，解得：，
即点，
综上所述：或．
- 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数和二次函数的图像都经过点和点B，过点A作的垂线交x轴于点C．D是线段上一点（点D与点A、O、B不重合），E是射线上一点，且，连接，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以、为邻边作．
（1）填空：________，________；
（2）设点D的横坐标是，连接．若，求t的值；
（3）过点F作的垂线交线段于点P．若，求的长．
【答案】（1），1；（2）；（3）
【详解】解：（1）把代入得：，解得：，
把代入得：，解得：b=1，
故答案是：，1；
（2）∵中，，
∵，
∴=，
∴EF=ED，
∵设点D的横坐标是，则D(t， )，F(t， )，
∴点E的纵坐标为：（）÷2=，
联立，解得：或，
∴A(4，3)，
∴ 过点A作AM⊥EG，延长GE交x轴于点N，则∠AEM=∠NEC=∠AOC，
∴，
又∵=，
∴，解得：（舍去）或，
∴；
（3）当时，则，
∵⊥FP，AB⊥AC，
∴FP∥AC，
∴，
∵∠FDQ=∠ODH，
∴，
又∵DF=-=，
∴DQ=，
∴DA==，
∵DA+OD=5，
∴+=5，解得：或（舍去），
∴OD==．
