2021年 湖南常德中考数学试题及答案
一、选择题
1. 4的倒数是（ ）
A. B. 2 C. 1 D.
【答案】A
2. 若 ，下列不等式不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3. 一个多边形的内角和是1800°，则这个多边形是（ ）边形．
A 9 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】D
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
5. 舒青是一名观鸟爱好者，他想要用折线统计图来反映中华秋沙鸭每年秋季到当地避寒越冬的数量变化情况，以下是排乱的统计步骤：①从折线统计图中分析出中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的变化趋势；②从当地自然保护区管理部门收集中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量记录；③按统计表的数据绘制折线统计图；④整理中华秋沙鸭每年来当地避寒越冬的数量并制作统计表．正确统计步骤的顺序是（ ）
A. ②→③→①→④ B. ③→④→①→②
C. ①→②→④→③ D. ②→④→③→①
【答案】D
6. 计算： （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D.
【答案】B
7. 如图，已知F、E分别是正方形 的边 与 的中点， 与 交于P．则下列结论成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
8. 阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即 ，那么称m为广义勾股数．则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（ ）
A. ②④ B. ①②④ C. ①② D. ①④
【答案】C
二、填空题
9. 求不等式 的解集_________．
【答案】
10. 今年5月11日，国家统计局公布了第七次全国人口普查的结果，我国现有人口141178万人．用科学计数法表示此数为___________人．
【答案】
11. 在某次体育测试中，甲、乙两班成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定学生个人成绩大于90分为优秀，则甲、乙两班中优秀人数更多的是__________班．
人数
平均数
中位数
方差
甲班
45
82
91
19.3
乙班
45
87
89
5.8
【答案】甲．
12. 分式方程 的解为__________．
【答案】
13. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=80°，则∠BCD的度数是_____．
【答案】140°．
14. 如图．在 中， ， 平分 ， 于E，若 ，则 的长为________．
【答案】
15. 刘凯有蓝、红、绿、黑四种颜色的弹珠，总数不超过50个，其中 为红珠， 为绿珠，有8个黑珠．问刘凯的蓝珠最多有_________个．
【答案】20
16. 如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有 个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有 个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有 个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格所有线段的和为____________．(用含n的代数式表示)
【答案】2n2+2n
三、解答题
17. 计算： ．
【答案】 ．
【详解】解：
18. 解方程：
【答案】 ，
【详解】分析：利用十字相乘法对等式的左边进行因式分解，然后解方程．
详解：由原方程，得：
（x+1）（x﹣2）=0，
解得：x1=2，x2=﹣1．
19. 化简：
【答案】
【详解】
20. 如图，在 中， ． 轴，O为坐标原点，A的坐标为 ，反比例函数 的图象的一支过A点，反比例函数 的图象的一支过B点，过A作 轴于H，若 的面积为 ．
（1）求n的值；
（2）求反比例函数 的解析式．
【答案】（1）1；（2）
【详解】解：（1）∵A ，且 轴
∴AH= ，OH=n
又 的面积为 ．
∴ ,即
解得， ；
（2）由(1)得，AH= ，OH=1
∴AO=2
如图，
∵ ， 轴，
∴ ，四边形AHOE是矩形，
∴AE=OH=1
又
∴
∴ ，即：
解得，BE=3
∴B(-3,1)
∵B在反比例函数 的图象上，
∴
∴ ．
21. 某汽车贸易公司销售A、B两种型号的新能源汽车，A型车进货价格为每台12万元，B型车进货价格为每台15万元，该公司销售2台A型车和5台B型车，可获利3.1万元，销售1台A型车和2台B型车，可获利1.3万元．
（1）求销售一台A型、一台B型新能源汽车的利润各是多少万元？
（2）该公司准备用不超过300万元资金，采购A、B两种新能源汽车共22台，问最少需要采购A型新能源汽车多少台？
【答案】（1）销售每台A型车的利润为0.3万元，每台B型车的利润为0.5万元；（2）最少需要采购A型新能源汽车 台．
【详解】解：（1）设每台A型车的利润为x万元，每台B型车的利润为y万元，根据题意得，
解得，
答：销售每台A型车的利润为0.3万元，每台B型车的利润为0.5万元；
（2）因为每台A型车的采购价为：12万元，每台B型车的采购价为：15万元，
设最少需要采购A型新能源汽车m台，则需要采购B型新能源汽车(22-m)台，根据题意得，
解得，
∵m是整数，
∴m的最小整数值为 ，
即，最少需要采购A型新能源汽车 台．
22. 今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式．仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为 ，站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为 ，已知小明目高 米，距旗杆 的距离为15.8米，小刚目高 米，距小明24.2米，求国旗的宽度 是多少米？（最后结果保留一位小数）（参考数据： ）
【答案】国旗的宽度 是1.6米．
【详解】解：由题意得，四边形GAEM、GBFN是矩形，
∴ME=GA=15.8（米），FN=GB=GA+BA=15.8+24.2=40（米），MG=AE=1.4（米），NG=BF=1.8（米），
在Rt△DME中，
∴
∴ （米），
∴ （米）；
在Rt△CNF中，
∴ ，即 （米），
∴ （米），
∴ （米）
答：国旗的宽度 是1.6米．
23. 我市华恒小区居民在“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”的号召下，积极联系社区医院进行新冠疫苗接种．为了解接种进度，该小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A类——接种了只需要注射一针的疫苗：B类——接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；C类——接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；D类——还没有接种，图1与图2是根据此次调查得到的统计图（不完整）．
请根据统计图回答下列问题．
（1）此次抽样调查的人数是多少人？
（2）接种B类疫苗的人数的百分比是多少？接种C类疫苗的人数是多少人？
（3）请估计该小区所居住的18000名居民中有多少人进行了新冠疫苗接种．
（4）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少．
【答案】（1）200(人)；（2）40%，30人；（3） 人；（4） ．
【详解】（1）A类型人数为20人，占样本的10%,所以此次抽样调查的人数是： （人）；
（2）B类型人数为80人，所以B类疫苗的人数的百分比是： ,
由图可知C类型人数的百分比为15%,所以接种C类疫苗的人数是： （人）．
（3）接种了新冠疫苗的为A，B，C类的百分比分别为 ，
人，
所以小区所居住的18000名居民中接种了新冠疫苗的有： 人．
（4）如图：
男1
男2
男3
女1
女2
男1
男1男2
男1男3
男1女1
男1女2
男2
男2男1
男2男3
男2女1
男2女2
男3
男3男1
男3男2
男3女1
男3女2
女1
女1男1
女1男2
女1男3
女1女2
女2
女2男1
女2男2
女2男3
女2女1
从表中可以看出，共有20种等情况数，符合题意的选中一男和一女的情形共12种，
P（一男一女）= ．
24. 如图，在 中， ，以 的中点O为圆心， 为直径的圆交 于D，E是 的中点， 交 的延长线于F．
（1）求证： 是圆O的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】解：证明：连接OD，如图：
∵AB为直径，
∴ ，
∵点E是BC的中点，
∴ED=EB，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵OA=OD，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴
∴ 是圆O的切线．
（2）∵E是BC中点，BC=4,
∴BE=2，
∴ ，
在 和 中， ， ，
∴ ，
∴设OD为x，
则 ，
解得：
则 ．
25. 如图，在平面直角坐标系 中，平行四边形 的 边与y轴交于E点，F是 的中点，B、C、D的坐标分别为 ．
（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）试判断抛物线的顶点是否在直线 上；
（3）设过F与 平行的直线交y轴于Q，M是线段 之间的动点，射线 与抛物线交于另一点P，当 的面积最大时，求P的坐标．
【答案】（1） ；（2）顶点是在直线 上，理由见解析；（3）P点坐标为（9， ）．
【详解】解：（1）∵平行四边形 ，B、C、D的坐标分别为
∴A（3，10），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则 ，解得 ，
∴直线AB的解析式为y=2x+4，
当x=0时，y=4，则E的坐标为（0,4），
设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，
，解得 ，
∴过B、E、C三点的抛物线的解析式为 ；
（2）顶点是在直线 上，理由如下：
∵F是 的中点，
∴F（8,10），
设直线EF 解析式为y=mx+n，
则 ，解得 ，
∴直线EF的解析式为y= x+4，
∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为（3， ），
∵ = ×3+4，
∴抛物线的顶点是否在直线 上；
（3）∵ ，则设P点坐标为（p， ），直线BP的解析式为y=dx+e，
则 ，解得 ，
∴直线EF的解析式为y= x+ ，
当x=0时，y= ，则M点坐标为（0， ），
∵AB//FQ ，
∴设FQ的解析式为y=2x+f，则10=2×8+f，解得f=-6，
∴FQ的解析式为y=2x-6 ，
∴Q 坐标为（0，-6），
∴|MQ|= +6，
∴S△PBQ= S△MBQ+ S△PMQ
=
=
=
=
∴当p=9时， 的面积最大时，
∴P点坐标为（9， ）．
26. 如图，在 中， ，N是 边上的一点，D为 的中点，过点A作 的平行线交 的延长线于T，且 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）在如图中 上取一点O，使 ，作N关于边 的对称点M，连接 、 、 、 、 得如图．
①求证： ；
②设 与 相交于点P，求证： ．
【答案】(1)见解析；(2)①见解析，②见解析．
【详解】证明：（1）∵ ，且
∴ ，且 ，
∴四边形ATBN是平行四边形，
∴ ，
∴∠DTA=∠DCN，
∵∠ADT=∠NDC，
∵点D为AN的中点，
∴AD=ND，
∴△TAD≌△CND（AAS）
∴TA=CN，
∵ ，
∴BN=CN，
（2）①如图所示，连接AM、MN，
∵点N关于边 的对称点为M，
∴△ANC≌△AMC，
∴∠ACN=∠ACM，
∵AB=AC，点N为AC的中点，
∴平行四边形ATBN是矩形，
∴∠TAB=∠ABN=∠ACN=∠ACM，∠BAN=∠MAC=∠CAN，AT=BN=NC=MC，
∵OA=OC，
∴∠CAN=∠ACO，
∴∠TAB+∠BAN=∠ACM+∠ACO=90︒，
∴∠OAT=∠OCM=90︒，
在Rt△OAT和Rt△OCM中，
∵AT=CM，∠OAT=∠OCM ，OA=OC，
∴Rt△OAT≌Rt△OCM（SAS），
∴∠AOT=∠COM，OT=OM，
∴∠AOT+∠AOM=∠COM+∠AOM，
∴∠TOM=∠AOC
∵OA=OC，OT=OM，
∵ ，
∴ ；
②如图所示，连接OP，
∵ ，
∴∠OTM=∠OAP，
∴点O、T、A、P共圆，
∵∠OAT=90︒，
∴OT为圆的直径，
∴∠OPT=90︒，
∵OT=OM，
∴点P为TM的中点，
∵由（1）得△TAD≌△CND，
∴TD=CD，
∴点D为TC的中点，
∴DP为△TCM的中位线，
∴ ．
